کروشه پواسون :: علم فیزیک

در ریاضیات و مکانیک کلاسیک کروشهٔ پواسون (Poisson bracket) عمل‌گری عمده در مکانیک هامیلتونی است. کروشه پواسون همچنین ارتباط مستقیمی بین مکانیک کوانتم و مکانیک کلاسیک برقرار می کنند.

مختصات استاندارد

در مختصات ذاتی $(q_i,p_j) \!$ برروی فضای فاز، اجراء عمل دوتایی کروشهٔ پواسون، در مورد دو تابع مفروض $f(p_i,q_i,t) \!$ و $g(p_i,q_i,t) \!$ در فضای فاز و زمان، فرم زیر را به‌خود می‌گیرد:

$\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]$

معادلات حرکت هامیلتون

معادلات ژاکوبی-هامیلتون را می‌توان بر حسب کروشهٔ پواسون به‌صورت معادل زیر هم بیان کرد. این موضوع را می‌شود به طور مستقیم در یک دستگاه مختصات عادی نشان داد. فرض می‌کنید $f(p,q,t) \!$ تابعی است بر روی یک خمینه. آنگاه داریم:

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$

چنانچه $p=p(t) \!$ و $q=q(t) \!$ را جواب‌های معادلات هامیلتون-ژاکوبی $\dot{q}={\partial H}/{\partial p}$ و $\dot{p}=-{\partial H}/{\partial q}$ در نظر بگیریم خواهیم داشت:

$\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f(p,q,t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac {\partial f}{\partial q} \frac {\partial H}{\partial p} - \frac {\partial f}{\partial p} \frac {\partial H}{\partial q} = \frac{\partial f}{\partial t} +\{f,H\}$

خواص و ویژگی‌های کروشه پواسون

پاد متقارن بودن:

$\{F,G\}=-\{G,F\}$

یک نتیجه سریع از این خاصیت آن است که $\{F,F\}=0$ که برای هر تابعی برقرار است.

خطی بودن:

$\{F_1+F_2,G\}=\{F_1,G\}+\{F_2,G\}$

ثوابت حرکت

کروشهٔ پواسون قدرت واقعی خود را در یافتن ثابت‌های حرکت نشان می دهد. ثابت حرکت تابعی در فضای فاز است که به زمان وابستگی صریح ندارد، $F(q_i,p_i)$ ، و مقدارش برای هر ذره ای ثابت است. به بیان دیگر $F(q_i,p_i)$ ثابت حرکت است اگر که $\frac{dF}{dt}=0$ باشد. چون ما بیان کردیم که تابع $F$ وابستگی صریح به زمان ندارد یعنی $\frac{\partial F}{\partial t}=0$ است، پس این تعریف از ثابت حرکت به این معناست که:

$F$ ثابت حرکت است اگر و تنها اگر برای تمام نقاط در فضای فاز داشته باشیم: $\{F,H\}=0$

چند مثال از کاربرد براکت پواسون

ثابت‌های حرکت آشنا را می توان اکنون با توجه به این دستور العمل ساده دوباره بدست آورد:

انرژی:

دیدیم که به خاطر خاصیت پاد تقارنی براکت پواسون $\{H,H\}=0$ . با استفاده از این ویژگی به این نتیجه می رسیم که:

\frac{dH}{dt}=\frac{\partial H}{\partial t}

در حالتی که هامیلتونین وابستگی صریح به زمان نداشته باشد به این نتیجه می رسیم که هامیلتونین یک ثابت حرکت است. انرژی در صورتی پایسته می ماند که وابستگی صریح به زمان نداشته باشد.

تکانه خطی:

در حالتی که هامیلتونین شامل یک مختصه تعمیم یافته خاص، $q_k$ ، نباشد، با استفاده از تعریف فوق خواهیم داشت:

$\{p_k,H\}=-\frac{\partial H}{\partial q_k}$

بنابراین $p_k$ ثابت حرکت است. تکانه پایسته می ماند اگر مختصه تعمیم یافته متناظرش $q_k$ در هامیلتونین ظاهر نشده باشد.

منبع: http://fa.wikipedia.org

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقیمانده اقلیدسی ∧ بزرگترین مقسوم علیه مشترک ∨ کوچکترین مضرب مشترک ترکیباتی ( ) ضریب بینم A جایگشت	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ مجموعه مکمل ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	برداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل ضرب اشتراک	ترتیبی
	∪ cup-produit • حاصل ضرب اشتراک	+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر

علم فیزیک